[ Pobierz całość w formacie PDF ]
.1.5, a zdefinio­wany jest następująco:przy czymCharakterystyczne dla funkcji Diraca jest to, że:Prawdziwe są również relacje:Transformata funkcji impulsowej wynosi więc na podstawie twierdzeń o różniczkowaniu lub całkowaniu:Transformata funkcji liniowo narastającejFunkcja skoku prędkości przedstawiona jest na rys.1.6.Skok prędkości jest całką z funkcji skoku jednostkowego:lub odwrotnie, funkcja skoku jednostkowego jest pochodną funkcji liniowo narastającej.Transformata operatorowa tej funkcji będzie zgodnie z definicją określona jako:Stosując całkowanie przez części:gdzie:otrzymuje się:a zatem:Transformata funkcji liniowo narastającej wynosi więc:Zastosowanie transformacji Laplace'a do rozwiązywania równań różniczkowychSzerokie stosowanie rachunku operatorowego wynika z moż­liwości stosowania przekształcenia Laplace'a do rozwiązy­wania równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczyn­nikach.I tak dla równania niejednorodnego:z warunkami początkowymi:można dokonać transformacji operatorowej obu stron równania:gdzie W(s) reprezentuje wielomian warunków początkowych.Rozwiązując to równanie algebraiczne względem Y(s) otrzymuje się:Oryginał tej funkcji y(t) można odnaleźć (czasami dopiero po rozkładzie na ułamki proste) z transformat jako:Przykładowo, w przypadku równania różniczkowego:z warunkiem początkowym:y(0)=l operatorowe równanie algebraiczne ma postać:sY(s) - y(0) + Y(s) = 0, skąd:a stąd (otrzymane na podstawie tablicy 1) rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:WSKAZÓWKI PRAKTYCZNEMając daną operatorową funkcję przejścia K(s) oraz wymuszenie X(s), znaleźć i narysować funkcję y(t) korzys­tając z przekształcenia Laplace'astąd Y(s) = K(s)X(s) dla przyjętych danychpo dokonaniu przekształceń otrzymuje sięa stąd na podstawie tablicy 1 otrzymuje się postać czasową odpowiedzi układu y(t)co odpowiada wykresowi z rys.1.9.Rys.1.9.Wykres funkcji y(t) dla przeprowadzonych obliczeń5 [ Pobierz całość w formacie PDF ]

Archiwum